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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
4. Dada la función $f(x)=\frac{x^{2}|x|+x^{3}+1}{x^{2}+3 x}$, analizar la existencia de asíntotas horizontales u oblícuas para el gráfico de esta función.
Respuesta
Asíntotas horizontales
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Como siempre, lo primero que hago es entender cómo voy a escribir esa cosa con módulo. Acordate que si $x$ es positivo, entonces $|x| = x$ y si $x$ es negativo $|x| = -x$. Entonces, mucha atención como voy a escribir la función cuando tome el límite a $+\infty$ y a $-\infty$:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{2}\cdot x+x^{3}+1}{x^{2}+3 x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3+x^{3}+1}{x^{2}+3 x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3+1}{x^{2}+3 x} $
Y este límite nos da $+\infty$, lo justificamos sacando factor común el que manda. ¿Te animás a subirme una foto de tu hoja mostrándome cómo te quedo cuando sacaste factor común ahí y por qué efectivamente da $+\infty$? Mejor equivocarse ahora en un entorno seguro que en unas semanas adentro del parcial digo yo 😝
Vamos ahora en $-\infty$
$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^{2}\cdot (-x) +x^{3}+1}{x^{2}+3 x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x^3+x^{3}+1}{x^{2}+3 x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^{2}+3 x} = 0$
Muy bien, entonces... nuestra función tiene una asíntota horizontal en $y = 0$ en $-\infty$. Como en $+\infty$ la función se está yendo a $+\infty$ podría ser que se esté pegando a una asíntota oblicua, vamos a averiguarlo.
Asíntota oblicua
Sabemos que nuestra asíntota oblicua es de la forma $y = mx +b$. Arrancamos viendo si existe $m$
Aclaración: Como estamos en el caso $x$ tendiendo a $+\infty$ fijate que sigo usando la expresión para $x > 0$ ;)
$ m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} $
$ m = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2x^3+1}{x^2+3x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3+1}{x(x^2+3x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3+1}{x^3+3x^2} = 2$
Invito a quien quiera a dejar abajo una foto de su hojita justificando por qué este límite da $2$ (sacando factor común "el que manda") 😄
Ahora calculamos la ordenada al origen $b$
$ b = \lim_{x \to +\infty} \left( f(x) - mx \right) $
$ \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2x^3+1}{x^2+3x} - 2x \right) $
$ \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3+1 - 2x^3 - 6x^2}{x^2+3x} $
$ \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - 6x^2}{x^2+3x} = -6$
(Y si, ya que estamos aprovechá y dejame también este límite ¿por qué da $-6$?)
Por lo tanto, $b = -6$ y llegamos a la conclusión que $y = 2x - 6$ es asíntota oblicua de $f$ en $+\infty$.
Espero las fotitos de sus hojassss 🙂